Équation diophantienne 5x + 3y = 12 - Corrigé

Énoncé

Résoudre l'équation \((E) \colon 5x+3y=12\) dans \(\mathbb{Z}^2\) .

Solution

On applique l'algorithme d'Euclide pour \(5\) et \(3\) :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 5&3&1&2\\ \hline 3&2&1&1\\ \hline 2&1&2&0\\ \hline\end{array} \begin{array}{ll}\ \\ \times (-1) & \text{suppression du reste } 2\\ \times 1 & \text{conservation du PGCD}\\ \ \\ \end{array}\end{align*}\)  
On a donc \(\mathrm{PGCD}(5;3)=1\) , et comme \(1\) divise \(12\) , l'équation \((E)\) admet des solutions.

En additionnant les lignes après avoir éliminé les restes intermédiaires, on obtient :
\(\begin{align*}5 \times (-1)+3 \times 1=3 \times 1 \times (-1)+1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 5 \times (-1)+3 \times 2=1\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 5 \times (-12)+3 \times 24=12\end{align*}\)  
donc \((x_0;y_0)=(-12;24)\) est une solution particulière de \((E)\) .

Soit \((x;y)\) une solution de \((E)\) .
On a  \(\begin{align*}5x+3y=5 \times (-12)+3 \times 24& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 5(x+12)=3(24-y)\end{align*}\) . 
On en déduit que \(5\) divise \(3(24-y)\) .
Or \(\mathrm{PGCD}(3;5)=1\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(5\) divise \(24-y\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que  \(\begin{align*}24-y=5k \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=24-5k\end{align*}\) .
On a alors
\(\begin{align*}5(x+12)=3(24-y)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 5(x+12)=3 \times 5k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x+12=3k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=3k-12.\end{align*}\)  
Ainsi, les solutions de \((E)\) sont des couples de la forme \((x;y)=(3k-12;24-5k)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .

Réciproquement, soit \(k \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((x;y)=(3k-12;24-5k)\) .
On a \(\begin{align*}5x+3y& = 5(3k-12)+3(24-5k)= 5 \times (-12)+3 \times 24= 12\end{align*}\)  donc \((x;y)\) est solution de \((E)\) .

En conclusion, les solutions de \((E)\) sont données par \(S=\left\lbrace(3k-12;24-5k) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .